Schar mit MinMax - Problem

Unterrichtsmaterialien
zur Integralrechnung

Eine MiniMax-Untersuchung
mit EXCEL und DERIVE

- Kommentar -

Mathematik
am
Helmholtz

Kursart	GK im Anfangsbereich, u.U. Probleme bei der Ableitung LK, wenn man die Flächeinhaltsfunktion genauer untersucht
Reihenthema	Integralrechnung ganzrationaler Funktionenscharen
Sequenzthemen	Berührpunkte, Tangenten extremale Flächeninhalte Monte-Carlo-Verfahren Kurvenanalyse einer Integralfunktion (Verkettung gebrochen-rationaler mit Wurzelfunktion) Vergleich algebraischer und numerischer (PC) Verfahren
Voraussetzungen	Vorkenntnisse EXCEL: mehrere Graphen in 1 Diagramm einfügen; dynamische Veränderung eines Diagramms durch absolute Adressierung; u.U. Bildlaufleisten; Wenn-Dann-Befehl Vorkenntnisse DERIVE: Termeingabe, Befehle zum Differenzieren und Integrieren; Graphikfenster; Zoomen; u.U. Solve-Befehl o.ä.

Die Aufgabe	Ausgangspunkt ist eine schlichte Parabelschar 2.Grades der Form y = c - ax² mit a > 0. Zunächst werden Tangentenfragen geklärt. Daran schließt sich eine Flächenaufgabe mit Optimierungsproblem an. Die Schar und die Zielgerade werden unter EXCEL geplottet, die Berechnungen werden algebraisch durchgeführt. EXCEL erlaubt dann die visuelle Überprüfung der berechneten Ergebnisse. Der Flächeninhalt kann - in Ergänzung zur normalen Stammfunktions-Integration - mit Hilfe von Zufallszahlen angenähert und veranschaulicht werden. Die Untersuchung der Fläche auf maximalen Größe führt schnell zu unübersichtlichen Termen. Diese könnnen mit Derive berechnet oder kontrolliert werden. Zudem bietet Derive eine schnelle Plottmöglichkeit. Dabei stellt sich heraus, dass die Flächenfunktion A nicht ganz so schlicht ist wie das Bild suggeriert: Die waagerechte Tangente in der kleineren Nullstelle sieht man nur bei exteremer Auflösung. Die Zahl der Parameter beträgt am Anfang 2: a und c. Im Rahmen der Aufgabe wird c durch a ausgedrückt. Man kann die Fragestellung auch auf 4 Anfangsparameter erhöhen, indem die Zielgerade nicht fest vorgegeben , sondern durch variable Nullstellen ersetzt wird.	--> Arbeitsblatt (i.Vorb.) Als Einstieg kann auch die Originalaufgabe in Lambacher-Schweizer, LK, S. 225, Nr.22 dienen. Die Arbeitsaufträge sollten durchaus eine gewisse Offenheit haben.
Das Plotterbild
SchülerInnen- arbeit mit EXCEL	Die SchülerInnen erstellen zunächst einen Plott der Parabelschar p und der Zielgeraden g. Die Schar ist über 2 absolute Adressierungen (Zellen) steuerbar. Gibt man a vor, kann c so gewählt werden, dass der zugehörige Einzelgraph die Zielgerade berührt, zumindest dem optischen Eindruck nach. Als bequem hat sich erwiesen, die steuernden Zellen mit Hilfe von "Schiebern" anzusprechen, in EXCEL "Steuerelemente" genannt. Kann man den zughörigen Wert für zu berechnen? Wie lässt sich der Berührpunkt als bewegliches Objek in das KOS einfügen? Hierzu wird durch algebraische Analyse c eliminiert, die Koordinaten des Berührpunktes berechnet und der Satz an "Datenquellen" der EXCEL-Graphik entsprechend erweitert. Die Koordinatenachsen schließen zusammen mit den Graphen zu p ein Flächenstück ein. Je nach Wahl von a (und damit auch c) ergeben sich unterschiedlich große Flächenmaßzahlen. Wie ist a zu wählen, damit die Fläche möglichst klein wird? Die Fragestellung wird standardmäßig mit Hilfe eines Stammfunktionsintegrals gelöst. Den von a abhängigen Integralwert minimiert man mit Hilfe des Ableitungskalküls. Welche Möglichkeiten bietet EXCEL hier zur dynamsch-interaktiven Aufbereitung der Fragestellung? Zum einen lässt die Formel für den Flächeninhalt die Möglickeit zu, in einer Zelle den jeweiligen Integralwert (abhängig von a) anzuzeigen.	Zum Einbau von Schiebern (Bildlaufleisten) in EXCEL-Arbeitsblätter --> Dynamisieren
Monte-Carlo-Methode Berechnung und Visualisierung	Alternativ - oder ergänzend - kann der Flächeninhalt näherungsweise durch "Zufallspfeile" angenähert werden. Im unten folgenden ScreenShot ist für a = 0,23 ein Integralwert von 6,91 mittels Stammfunktionsintegral berechnet worden. Von 1000 Zufallspfeilen, geworfen auf ein 4x4 - Quadrat im 1.Quadranten, landeten 412 in der zu berechnenden Fläche. Dies ergibt einen Schätzwert von 6,59. Dieses Verfahren ermöglicht auch eine komfortable Visualisierung der zu berechnenden Fläche. EXCEL kann nicht "die Fläche zwischen ... " darstellen, sondern nur geeignete Tabellen visualisieren. Fasst man die Zufallspfeile, die ihr Ziel erreichen, zu einer neuen Tabelle zusammen, können diese geplottet werden und zeigen die Fläche an. Variiert man a, verändern sich die Randbedingungen für die Pfeile und die "Ausfüllung" verändert sich mit dem Graphen von p.
ScreenSchot des letzten EXCEL-Bildschirms	<-- Klick und Guck!
Link zur EXCEL-Tabelle	<-- Klick und Guck!
	Der hier gezeigte EXCEL-Bildschirm ist eine leicht aufgepäppte Version einer möglichen Schülerlösung. Änderungen gegenüber einer Standard-Unterrichts-Lösung sind: die farbige Gestaltung des Hintergrundes, die Einfärbung der Schieber, die optische Aufteilung der Graphen zu p und g, der Schalter, um Zielfläche, Zufallspfeile und Maßzahlen zu- bzw. wegzuschalten. Eine Original-Schüler-Lösung findet sich weiter unten.

Einsatz von Derive - knapp -	Derive soll uns helfen, die Flächeninhalts-/Integralfunktion A zu untersuchen. Je nach Vorkenntnissen kann Derive dabei mehr oder weinger Arbeit übernehmen. Hier soll eine Einsatzmöglichkeit beschrieben werden, die wenige Vorausstzungen erfordert. Zunächst wird der Term A(a) im Algebrafenster eingegeben. Den zughörigen Graphen plottet Derive im Graphikfenster. Er gibt eine erste Vorstellung von den Eigenschaften: Einschränkungen im Definitionsbereich 1 Nullstelle In dieser Nullstelle senkrechte Tangente (Klar: Wurzel - s. aber unten! -) 1 Hochpunkt x-Achse waagerechte Asymptote für x --> unendlich Diese Eigenschaften gilt es nun algebraisch zu überprüfen. Einiges lässt sich direkt am Term A(a) ablesen: Wurzel schränkt Definitionsbereich ein A(a) hat nur 1 Nullstelle Asymptote ergibt sich aus dem Verhalten der EXCEL-Animation. (A' liefert nur 1 HP. Dies liefert eine algebraische Begründung. Zusätzlich hilft eine Abschätzung a^1,5 im Zähler gegen a^2 im Nenner.) Zusätzlich lässt man Derive die Ableitung A' berechnen und zeichnen. (Selber Ableiten schadet auch nichts: Quotientenregel und Kettenregel.) Dabei entdeckt man, dass A' zwei Nullstellen hat: a = 1/16 und a = 1/4. D.h., dass entgegen dem Eindruck des Plotterbildes A in seiner Nullstelle nicht senkrecht auf die x-Achse trifft. Das erkennt man am Bildschirm aber erst nach einigem zielgerichtetem Basteln am Zeichenbereich.	--> Derive - Datei (i.Vorb.) Eine "Langversion" findet sich weiter unten.
Plott unter Derive	<-- Klick und Guck!
Einsatz von Derive - umfänglicher -	Wenn man intensivere Derive-Kenntnisse voraussetzen kann, bietet es sich auch an, die algebraischen Bedingungen (Diskriminante = 0) und das Integral zu A(a) von Derive berschnen zu lassen. Oder man führt diese Technik an diesem Beispiel ein.	--> Derive - Datei
Kleiner didaktischer Rückblick	Welche zusätzlichen Ziele lassen sich erreichen, wenn - wie hier vorgestellt - eine Standard-Schar nicht allein algebraisch, sondern auch mit EXCEL und DERIVE bearbeitet wird? Einerseits wird für die SchülerInnen der dynamische Zusammenhang zwischen den Parametern und den untersuchten Eigenschaften deutlicher. Andererseits kann die Visualisierung nur gelingen, wenn die algebraische Analyse die erforderlichen Terme zum Aufbau einer Tabelle liefert. Je nach Vorkenntnissen der SchülerInnen wird die visuelle Darstellung unterschiedlich weit reichen. Der oben beigefügte ScreenShot zeigt die Möglichkeiten, die sich hier erschließen. Das ist zunächst ein Gewinn an innerer Differenzierung. Für die Mathematik bedeutsam ist an dieser Stelle, dass die Aufteilung von Graphen oder das Zu- und Wegschalten von Elementen logisch-strukturelle Analysen voraussetzt, die von EXCEL direkt auf ihren Erfolg hin überprüft werden. Nicht zuletzt ist dieser Zusammenhang von Monte-Carlo-Methode, Berechnung der Integrale und Darstellung der Fläche im KOS durch Zufallstreffer eine Möglichkeit, eine Standardaufgabe um neue Fragestellungen und Techniken zu erweitern. Der Einsatz von Derive nimmt Arbeit ab und zeigt gleichzeitig, dass die anschaulich gefundenen Ergebnisse der algebraischen Kontrolle bedürfen. Zudem wird "offenes Begründen" geübt: Man wird nicht A einer Standardkurvendisussion unterziehen wollen, sondern sich nur diejenigen Teile herauszuchen, die man zum Verständnis des Graphen benötigt.
Eine Schüler- lösung (EXCEL)	Die hier beigefügte Schülerlösung ist in der Ausgestaltung etwas schlichter, hat aber den Vorteil, ungeschminkt aus dem Unterricht zu kommen. Wesentliche inhaltliche Unterschiede: Es gibt keine zu- oder wegschaltbaren Elemente. Diese waren zu diesem Zeitpunkt noch nicht thematisiert. Sie werden es wohl auch nicht oder nur sehr am Rande. Die Flächenfärbung wird nicht nach der MonteCarlo-Methode durchgeführt, sondern mit Hilfe einer ganz anderen Idee: Zufallszahlen verkürzen Abstände auf p%, p<100. Auf diese Weise kann das x-Intervall zufällig gekürzt werden, genauso wie der y-Wert an dieser Stelle. Man erhält hierbei zwar keinen Schätzwert für die Größe der Fläche, aber dafür eine deutlich elegantere Färbetechnik. Letztere ist auch sehr einfach auf beliebige Intervalle und Flächen zwischen zwei Kurven übertragbar.	--> Schüler-Version von Daniel, Andre und Eike
Anschluss- untersuchung	Beigefügt ist ein DERIVE-Arbeitsblatt, mit dem die oben beschriebenen Eigentümlichkeiten der Wurzelfunktion nochmals unabhängig von dem hier gegebenen Kontext betrachtet werden können.	--> DERIVE-Arbeitsblatt

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