Unterrichtsmaterialien

Regression

- Kommentar -
Mathematik
am
Helmholtz


Tabellenblätter
1 und 2		 Der Datensatz "Größe-Gewicht" wird zunächst auf eine Faust-Formel hin untersucht. Abweichungen von diesem "Idealgewicht" werden notiert. Sie erhalten weiter unten den Namen "Residuen. Die Punktwolke und der Graph zum Idelagewicht werden geplottet.

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Datensatz
Tabellenblätter
3 und 5		 Als nächstes untersuchen wir, ob es Geraden durch die Punktwolke gibt, die den Zusammenhang "Größe-Gewicht" angemessener beschreibt. Vorversuche mit dem typ y = ax + b werden aufgegeben zugunsten der Form y = m(x - xs) + xs. Dabei beschreibt S(xs/ ys) den Schwerpunkt der Punktwolke. Rechnerischer Vorteil: nur 1 Variable (für die Steigung m). Mathematischer Hintergrund: Die am Ende gefundene "optimale" Gerade geht in jedem Fall durch den Schwerpunkt. Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Punk-Steigungsform wählen. (Diesen Zusammenhang wird man den SchüplerInnen nur plausbel machen, i.d.R. aber nicht beweisen.)

Die im Folgenden aufgeführten Abbildungen finden sich als
Blätter 1 - 8
in einer gemeinsamen EXCEL-Datei:
EXCEL-Datei (Download)
Tabellenblätter
4 und 6		 Um die optischen Eindrücke algebraisch zu erfassen, Berechnen wir die Senkrechten Abstände zwischen den Punkten der Punktwolke und der jeweiligen Geraden (= Residuen). Diese Werte werden quadriert und addiert. Diese Summe der Abweichungs-Quadrate (SAQ) muss minimiert werden. Es hat sich als hilfreich erwiesen, die Residuen in einem neuen Koordinatensystem als Abweichungen von der x-Achse zu plotten.

 
Nebenstehend:
der Wechsel von "schräg auftreffenden" Residuen zu den senkrecht auftreffenden.
Außerdem findet wird die SAQ mit 91 angegeben.

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zu einer Veranschaulichung der
Residuen
Nebenstehend:
links eine Gerade mit m=0,8 durch den Schwerpunkt S;
rechts die Residuen, die schon ganz passabel liegen.
Es fehlt noch die Summe der Abweichungsquadrate.

 
Tabellenblatt 8:

Unten stehend: Das Schlussbild dieser Sequenz zeigt neben der Geraden durch die Punktwolke und den Residuen im dritten Koordinatensystem den zur aktuellen Geradensteigung gehörenden SAQ-Wert. Variert man m mit Hilfe des eingebauten "Schiebers", so bewegt sich der rote Punkt auf einer Parabel - oder einer parabelähnlichen Kurve.

 
  Der Nachweis, dass die Summe der Abweichungsquadrate tatsächlich einem Parabel-Gesetz gehorcht, erfolgt in zwei Schritten:
  1. Für drei Punkte wird konkret, d.h. algebraisch, die Parabelgleichung ermittelt. Teilergebnisse der Umformungen werden dabei vorgegeben, sodass die SchülerInnen die fehlenden Zwischenschritte selbständig ergänzen können.

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zum WORD - Arbeitsblatt
Regression
für 3 Punkte

 

 
  1. Dann wird der allgemeine Fall algebraisch parallel zum "Dreier-Fall" modelliert. Dieser Teil ist algebrisch deutlich aufwändiger. Das beigegeben WORD - Arbeitsblatt verzichtet auf Sigma-Summenzeichen. Ziel ist es, ein Verständnis für die auftretenden Teilterme zu schaffen. Den zweiten Teil dieses Arbeitsblattes bildet ein tabellarischer Überblick über die benötigten Zwischenterme. Diese Tabelle ermöglicht das Berechnen des Regressionskoeffiziente ohne allzu großes Auswendiglernen. Als Ergebnis erhält man die übliche Festlegung des Regressionskoeffizienten.

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zum WORD - Arbeitsblatt
Der Regressions - koeffizient
  In enger Anlehnung an den eben beschriebenen Weg zum Regressionskoeffizienten wurde dann die Klausur (Aufgabe 2) konzipiert.

Link zur
Klausur



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