Unterrichtsentwurf
für
ein offenes Lernarrangement
mit Ranger - Einsatz
Thema der Reihe:
Untersuchung ganzrationaler Funktionen
Thema der Stunde:
Modellierung des Rollverhaltens eines Fußballs auf einer schiefen Ebene
I Didaktischer Kommentar zur Reihe und zum Stundenverlauf
II Lernziele
III Tabellarische Sicht über den Stundenverlauf
VI Materialien aus der Lernwerkstatt zur Reihe und zur Stunde
Mit Hilfe eines Ultraschall – Messgerätes, einem
sog. Ranger [CBR – Calculator Based Ranger], und eines geeigneten
Taschenrechners [TI-89] wird das Rollverhalten eines Fußballs auf einer
Aluminium – Profilschiene ["schiefe Ebene"] datenmäßig erfasst. Der
TR protokolliert in Abhängigkeit von der Zeit die Entfernung des Balls sowie
seine jeweilige Geschwindigkeit. Die zugehörigen Graphen ergeben eine Parabel
bzw. lineare Funktion. Zu diesen Graphen lassen sich mathematische Modelle in
Form von Funktionsgleichungen ermitteln. Diese ermöglichen es, die Entfernung
des Balls und seine Geschwindigkeit nach einer Zeitspanne zu ermitteln, die im
Experiment für uns nicht ermittelbar ist:
Experiment: nach 3 Sekunden eine Entfernung von 4 m und
eine Geschwindigkeit von 3 m/s; mathematisches Modell: nach 60
Sekunden eine Entfernung von ca. 1800 m und eine Geschwindigkeit von gut 200
km/h.
Dabei ist zu beachten, dass das mathematische Modell
keinen Anspruch auf physikalische Korrektheit erheben kann. Für kurze Zeiträume
ist es sicherlich brauchbar. Auf längere Sicht jedoch wirken sich Roll- und
Luftwiderstand sowie Turbulenzen und Trägheit des sich drehenden Gegenstandes
in einer Weise aus, die aus den minimalen Grunddaten des Rangerexperiments
nicht abschätzbar sind. Die realistischen Werte werden deutlich
geringer sein als die vom mathematischen Modell vorhergesagten.
Das Material der Lernwerkstatt:
Das ABC der ganzrationalen Funktionen lässt sich unter dem Oberbegriff
"Selbständiges Lernen im Mathematikunterricht" fassen, ohne Teil des
NRW – Projektes SelMa zu sein. Der Umfang des Materials wird aus dem Vorwort
[s.u. VI Materialien] sichtbar.
Die Arbeit mit dem Material setzt ein, wenn im Unterricht der Ableitungsbegriff
und die grundlegenden Ableitungsregeln erarbeitet worden sind. Inhaltlich
werden zunächst die Standardthemen rund um die Kurvendiskussion angeboten.
Daran schließen sich Erweiterungen, Spiele, Check Up's etc. an. Schwerpunkte
der Arbeit sind die folgenden:
o
Die
Ss. arbeiten weitestgehend ohne Eingriff der Kursleitung. Sie wählen die
Stationen, aber auch die Hilfsmittel (Lehrbücher, Lexika, TR, PC - Software
etc.) selbständig aus.
o
Die
neuen
Medien stehen als Arbeitshilfsmittel zur Verfügung. Sie umfassen
Funktionenplotter, Tabellenkalkulation, CBR (Calculator Based Ranger). CAS –
Anwendungen (auf TR oder PC) spielen in diesem Kontext weniger eine Rolle.
o
Ausgangspunkt
ist eine klassische Situation zur Gewinnoptimierung eines Unternehmens. Diese
Orientierung an konkreten Anwendungsfragen setzt sich im
Erweiterungsteil fort [Station F: Funktionsbestimmungen, W: Abstandsfragen] und
wird auch in den Addenda wieder aufgenommen [O: Optimieren, B: Rollversuche mit
Fußball].
o
Im
Rahmen der anwendendungsorientierten Fragestellungen werden Sachsituationen auf
unterschiedliche Weise modelliert. Die Modelle werden z.T.
vorgegeben und sind dann auszuwerten [Station I], oder sie müssen – wie in der
heutigen Stunde – erst noch an das Datenmaterial bzw. den Graphen herangetragen
werden.
o
In
Einzelfällen werden Ergebnisse aus anderen Lernbereichen der
Jahrgangsstufe herangezogen [Station B: Regression als Hilfsmittel aus der
Statistik].
o
Da
für diese konkrete Lerngruppe ein Ranger zur Verfügung steht, sind wir in der
Lage, konkrete Schülerhandlungen in Echtzeit in einen mathematischen
Kontext einzubetten.
o
Nicht
alle Teile sind verbindlich zu bearbeiten. Dies ermöglicht eine sehr
individuelle Differenzierung innerhalb der Lerngruppe. Insbesondere im
Bereich der Addenda kann für starke und engagierte Ss. weiterführendes Material
angeboten werden, das auch schon Ausblicke etwa auf mögliche Facharbeiten in
der Jahrgangsstufe 12 zulässt.
o
Die
gesamte Arbeit in der Lernwerkstatt wird von einer individuell auszugestaltenden
Dokumentationsmappe begleitet. Dies soll einerseits das
Reflektionspotential und Methodenbewusstsein der Ss. erhöhen, und andererseits
die erarbeiteten Inhalte für spätere Lernsituationen verfügbar halten. Zudem
steht auf diese Weise ein für Ss. und L. handhabbares Element der
Leistungsbeurteilung zur Verfügung.
Die Lerngruppe besteht aus 24 Mädchen und Jungen,
die ich seit Anfang des Schuljahres unterrichte. Es gibt eine für diese
Jahrgangsstufe typisch große Leistungsstreuung, sowohl in der Sonstigen
Mitarbeit als auch in den Klausuren. Während der bisherigen Arbeit in der Lernwerkstatt hat sich jedoch gezeigt,
dass sich gerade "schwächere" [= stillere, langsamere,
zurückhaltendere, scheuere?] Ss. ausgesprochen rege, selbstbewusst und
erfolgreich in die Gruppenarbeit einbringen. Auch die Möglichkeit der
Dokumentation wird von ihnen als neue Chance begriffen. Umgekehrt sehen sich
auch "starke" Ss. vor neuen Herausforderungen: Die Vorbereitung auf
eine Klausur kostet sie deutlich weniger Zeit als das konsequentes Führen einer
Dokumentationsmappe.
Die Ss. arbeiten in Kleingruppen zu je 3 – 5
Personen. Alle Gruppen haben die vorbereitenden Stationen (A, W) durchlaufen.
Zwei dieser Gruppen werden in einem Extra – Raum das Rollball – Experiment
durchführen. Die anderen Gruppen arbeiten in ihrem üblichen Raum eigenständig
weiter. Sie werden in den Folgestunden ebenfalls das Experiment durchführen.
1. Phase:
Orientierung, Hinführung zum Thema
Während vier der sechs Teilgruppen am Material der
Werkstatt arbeiten, begeben sich zwei Gruppen in den Nachbarraum. Dort wird
ihnen eine 4 m lange Alu – Profilschiene und ein Fußball vorgestellt. Das
Material ist noch nicht Ranger – geeignet aufgebaut. Man kann natürlich den Ball
die Schiene herunterrollen lassen, aber: Wenn man die Schiene verlängern
könnte, welche Geschwindigkeit würde der Ball nach 1 Minute haben und wie lang
müsste die Schiene dann sein? Hier sollten die Ss. durchaus "Werte aus dem
Bauch heraus" nennen.
2. Phase: Planung des
Experiments (Problematisierung 1)
Im gemeinsamen Unterrichtsgespräch klären alle
Beteiligten, welche Möglichkeiten man hat, um wenigstens eine ungefähre
Vorstellung von der Größenordnung der gesuchten Werte zu erhalten. Dies
beinhaltet zunächst das Erfassen der Daten für die 4m – Schiene mit Hilfe des
Rangers und anschließend die "Hochrechnung" dieser Daten. Welche(s)
Verfahren hier erwähnt wird, kann offen bleiben. Wir verabreden, dass die Ss.
ihr Datenmaterial vor der Hochrechnung mit dem L. besprechen und analysieren.
Die Frage nach Störgrößen bzw. der physikalischen Korrektheit einer solchen
Hochrechnung kann hier thematisiert werden, falls die Ss. das Thema anschneiden.
Sonst wird es auf die Modellkritik am Ende der Stunde verschoben.
3. Phase: Experiment
(Erarbeitung 1)
4. Phase: Auswertung
1 (Sicherung 1)
5. Phase:
Modellierung (Erarbeitung 2)
Um den Ss. eine brauchbare Grundlage für die weitere Arbeit zu geben, erhalten alle einen vorbereiteten Datensatz samt Diagramm, der dem in der laufenden Stunde ermittelten Datenmaterial entspricht. Dazu gehören die tabellarisch erfassten Messwerte und ein aufgrund dieser Messwerte erstelltes EXCEL – Diagramm. Die Ss. erhalten sowohl eine Papierversion als auch eine PC – Version. Die Papierversion hilft, den Übergang von den Ranger – Daten zur EXCEL – Tabelle zu verdeutlichen. Zudem und vor allem lässt sich auf dem Papier mit Hilfe eines Steigungsdreiecks sehr schnell ein Schätzwert für die Endgeschwindigkeit ermitteln.
Es ist nicht auszuschließen, dass schon an dieser Stelle Ss. auf die Beschränktheit des Datenmaterials und die Unübersichtlichkeit der physikalischen Abläufe hinweisen (s.o. Sachanalyse). Die Hinweise sollten konkretisiert werden, aber nicht zu einer Diskussion über physikalische Modellierungen führen.
HINWEIS: Für
Lerngruppen, die Erfahrung im Umgang mit leistungsfähigen Taschenrechnern haben
(ab TI-83 aufwärts), können die Modellierungsüberlegungen ohne vorbereitetes
Parallelmaterial begonnen werden, da dann die Regressionslinien direkt vom TR
erzeugt werden. Ebenfalls als Variante ist die sofortige Übertragung des selbst
erzeugten Datenmaterials auf den PC in eine EXCEL – Tabelle. Dazu müsste
allerdings die noch in der Erprobung befindliche TI – CellSheet – Technik
benutzt werden. Beide Varianten stehen mir derzeit nicht zur Verfügung.
Die Ss. arbeiten nun in ihren Kleingruppen oder
unter weiterer Aufspaltung an dem gestellten Problem. Es muss im Vorfeld offen
bleiben, welche Überlegungen die Ss. anstellen. Als mögliche Strategien bieten
sich an:
o
Die
Endgeschwindigkeit des Fußballs wird überschlagen aufgrund des EXCEL –
Diagramms mit Hilfe einer Dreisatzüberlegung (Steigungsdreieck).
o
EXCEL
– Trendlinien
(Regressionslinien) werden in die beiden Diagramme eingefügt. Die
zugehörige EXCEL – Technik ist im Prinzip bekannt, gehört aber nicht zu den
geübten Unterrichtsbestandteilen. Falls Ss. diesen Weg einschlagen, muss man
bei der Anzeige der zugehörigen Regressionsgleichungen nachhelfen. Das Ausrechnen
der Werte dreg(60) bzw. vreg(60) ist hingegen klassischer
Unterrichtsstoff.
o
Aufgrund
von drei bzw. zwei ausgewählten Punkten werden die beiden Funktionsgleichungen
algebraisch ermittelt (Punktprobe). Bei der Parabel könnte
auch eine Scheitelpunktsüberlegung ins Spiel gebracht werden.
6. Phase: Auswertung
2
Auch diese Phase hängt von den Ideen der Ss. ab. Es
wird angestrebt, dass zumindest 1 Lösung von einem S. vorgestellt wird. Da die
Überschlagslösung sehr einsichtig ist – sobald man sie eingesehen hat –, ist
diese Variante eine gute Kandidatin für eine erste Lösung. Sollte andererseits
z.B. eine auf Regression basierende Lösung vorliegen, wird man der
entsprechenden Gruppe die Freude am Vorstellen ihres Ergebnisses nicht nehmen
wollen. Da die PC's im Netz arbeiten, können auch in diesem Fall die
Arbeitsergebnisse (Trendlinien, Funktionsgleichungen) über den Zentralrechner
und Beamer von der ganzen Gruppe betrachtet werden. Je nach Zeitumfang wird zu
thematisieren sein, welches Datenmaterial der Regression zugrund lag und wie
man gegebenenfalls die Regression auf die relevanten Datenmengen beschränken
kann.
Falls sich im Rahmen der bisherigen Phasen keine
Hinweise auf die begrenzte Vorhersagekraft des ermittelten mathematischen
Modells ergeben haben, wird die Plausibilität der Ergebnisse an dieser Stelle betrachtet.
7. Phase: Sicherung,
Ausblick, Hausaufgabe
Je nach Verlauf der Auswertung in Phase 7 ergeben
sich unterschiedliche Varianten:
o
Ein
auf Überschlagsüberlegungen
beruhendes Ergebnis dient als Kontroll- und Korrekturwert zu den Schätzungen
der Ss. in Phase 5. Die dort aufgeworfenen Frage hätte zumindest eine erste
abgesicherte Antwort erhalten. Mögliche Anschlussaufgabe: Erkundung eines
algebraischen Verfahrens. (Die EXCEL – Daten stehen den Ss. zu Hause nicht zur
Verfügung.)
o
Falls
ein Ergebnis auf Basis von Trendlinien erzielt wurde, bietet
sich der Hinweis auf die übersichtliche Situation beim Geschwindigkeitsgraphen
an. Als Hausaufgabe bietet sich dann die Überschlagsrechung an.
o
Wurden
nur
Trendlinien ermittelt, aber keine Funktionsgleichungen, sollte
zumindest der Datenbereich für diese Linien diskutiert werden.
o
In
jedem Fall ist der Ablauf der Stunde in der Dokumentationsmappe
festzuhalten. Als Unterstützung der Nacharbeit erhalten die Ss. die Unterlagen Lernwerkstatt zu Station B.
Die SchülerInnen sollen ...
2. das gewonnene Datenmaterial [Graphen] beschreiben und interpretieren, indem sie wesentliche Abschnitte der erhaltenen Graphen beschreiben, Grundtypen mathematischer Funktionen in den Graphen aufweisen [parabolisch, linear] und den Phasen des Experiments zuordnen sowie den algebraischen Zusammenhang zwischen den Graphen erläutern [Funktion und ihre Ableitung],
3. die gegebene Sachsituation mathematisch modellieren, indem sie zu gegebenen Daten [Graphen] Funktionsterme ermitteln oder zeichnerische Analysen vornehmen [Überschlagsrechnungen im linearen Modell],
4. konkrete Fragen der physikalischen Realität aufgrund des von ihnen selber ihres entwickelten Modells beantworten, indem sie aufgrund der vorliegenden Messergebnisse für 4 Sekunden begründete Aussagen über die Situation nach 60 Sekunden machen.
Die hier aufgeführten Lernziele beschränken sich auf
konkrete inhaltliche Aspekte der anstehenden Stunde und deren Bezug zu
allgemeineren mathematischen Kompetenzen. Der Bezug zu den zentralen Ideen im Sinne des Lehrplans
Mathematik Sekundarstufe II, Kap. 1.1 ist dabei deutlich erkennbar. Nicht
ausformuliert wurden diejenigen Ziele, die sich aus Richtlinienvorgaben 1.3.2
("Persönliche Entfaltung und soziale Verantwortlichkeit") ergeben und
ebenfalls im Lehrplan ihren Niederschlag gefunden haben (vgl. Lehrplan, S. 6).
Dass gerade die Arbeit in einer Lernwerkstatt
kooperatives und soziales Lernen unterstützt, geht aus den Ausführungen in Teil
I hervor.
|
Phase |
Inhalt |
Sozialform |
Medien |
|
1.
Orientierung |
Weg
und Geschwindigkeit eines Fußballs nach 1 Minute |
L
- Info |
Profilschiene,
Ball |
|
2.
Problematisierung 1 |
Mögliche
Versuchsabläufe diskutieren: Erfassen und Hochrechnen von Daten |
UG |
Profilschiene,
Ball Ranger |
|
3.
Experiment |
Experiment
aufbauen und Daten ermitteln |
GA |
Ranger,
Profilschiene, Ball |
|
4.
Auswertung 1 |
Daten
auswerten und Ergebnisse an der Tafel festhalten |
UG |
OHP Tafel |
|
5.
Modellierung |
Was
ist nach 1 Minute los? Modellieren
der Situation, mögliche
Strategien: oder
Ansätze zur algebraischen Ermittlung von Funktionsgleichungen (Punktproben) |
AG |
OHP,
Folie 2 AB
Folie + Daten PC |
|
6.
Auswertung 2 |
Diskussion
einer möglichen Lösung |
SV UG |
OHP,
Folie 2 PC
mit Beamer |
|
8.
Sicherung, Ausblick, HA |
Varianten
zur Modellierung, die in Phase 7 nicht besprochen wurden |
UG L-Info |
AB
Station B |
|
Skizze zum Rollball –
Experiment Entfernungsdiagramm Anmerkungen, Markierungen |
Skizze zum Rollball –
Experiment Geschwindigkeitsdiagramm Anmerkungen, Markierungen Funktionstyp: linear, Ableitungsfunktion zur
Entfernungsfunktion |
|
Mathematisches Modell: o
Überschlag, EXCEL _ Diagramm o
Regression, Trendlinie o
Funktionsgleichung aus 3 bzw. 2 Punkten |
Ergebnis: d(60)
» 1800 m v(60)
» 200 km/h Plausible Werte? Unklar,
da abhängig von Roll- und Luftwiderstand |
Folie 2: Typisches Ergebnis
(Muster) eines Rollballexperiments: EXCEL – Diagramm mit Entfernungs- und
Geschwindigkeitsgraph
Arbeitsblatt 1: EXCEL – Diagramm (s.
Folie 2) samt zugehörigem Datensatz
Arbeitsblatt 2: Station B der
Lernwerkstatt - Materialien
VI Materialien aus der Lernwerkstatt zur
Reihe und zur Stunde
Bei den hier beigefügten Materialien handelt es sich
Arbeitsunterlagen für die Ss. aus der dieser Reihe zugrundeliegenden Lernwerkstatt: Das ABC der ganzrationalen Funktionen. Konzept und Materialien
stammen von Bärbel Barzel, Ines Fröhlich
und Sibylle Stachniss-Carp. Allerdings wurden die Materialien z.T. deutlich
überarbeitet. Weitere Informationen und Abbildungen wurden aus dem Handbuch zur Benutzung des CBR von Texas Instruments übernommen.
Das Vorwort bietet eine Sicht über das gesamte in der Lernwerkstatt zum Einsatz kommende Material. Es liefert darüber hinaus Hinweise, welche Selbstkontroll- und Sicherungsfunktionen für die Ss. vorhanden sind.
Station A gehört zu Grundlagen der Lernwerkstatt. Es thematisiert die grundlegenden Zusammenhänge bei der graphischen Darstellung von Abstandssituationen. Dabei werden sowohl Entfernungs- als auch Geschwindigkeitsdiagramme benutzt. Den Schluss bildet eine Übung zur wechselseitigen Beziehung beider Diagrammarten.
In dieser Station wird der Ranger eingeführt. Zentral ist die zeitliche Parallelität von körperlicher Bewegung und graphischer Darstellung. Das matching hat nicht allein einen hohen Unterhaltungswert, gerade wenn es um das Nachlaufen eines Geschwindigkeitsgraphen geht, sondern regt auch spontane und intensive Diskussionen über den Zusammenhang von Bewegung und Diagramm an.
Diese Station ist das Pendant zur hier vorgeführten Stunde. Material und Fragestellungen sind so aufbereitet, dass TI (83 oder höher) – erfahrene Ss. auch selbständig an dem Rollball – Experiment arbeiten können.
Diese Hinweise liegen nur im Resource Center aus. Lerngruppen, in denen ein TI (83 oder höher) eingeführt ist, können mit diesen Hinweisen die Stationen W und B [s.o.] weitgehend selbstständig bearbeiten.