Unterrichtsmaterialien
zur Geschichte der Mathematik

Al-Khwarizmi

- Kommentar -
Mathematik
am
Helmholtz

Es folgen Informationen

Die vollständige Dokumentation ist als pdf-Dokument beigefügt.

Anmerkung zur Dokumentation: Die Konvertierung von erfolgte WORD nach STAROFFICE und dann in eine pdf-Datei. Daher gibt es einige "typische" Korrumpierungen des Textes. Ich bitte den Leser um Nachsicht.


Al - Khwarizmi in seiner Zeit

Die wesentlichen Informationen stammen aus den Materialien, die im WS 1994/95 an der Universität Bielefeld im Arbeitskreis "Mathematikgeschichte für Lehrer" von Professor Jahnke an die Teilnehmer ausgegeben wurden. Einige ergänzende Bemerkungen sind dem Buch "Von Pythagoras bis Hilbert" von Egmont Colerus entnommen (rororo 6696/6697).

Zeitgenössischer Kontext

Zu den bedeutendsten Ereignissen der Weltgeschichte zählt die Expansion der Araber im 7./8. Jahrhundert. In knapp 1 ½ Jahrhunderten eroberten sie ein Reich, das sich von Spanien bis zum heutigen Pakistan erstreckte. Sie übernahmen, verarbeiteten und entwickelten das Kulturgut der eroberten Gebiete und verschmolzen so babylonische, griechische, indische und chinesische Traditionen. Ein wichtiger Ort, an dem dieses geleistet wurde, war das um 830 in Bagdad vom Kalifen al-Mamun gegründete Haus der Weisheit, das eine Bibliothek und ein Observatorium umfasste. Dort wurden Übersetzungen aus dem Indischen, Chinesischen und Griechischen in die arabische Amtssprache angefertigt, und dort arbeitete auch Al-Khwarizmi. Im Vorwort zu dem in diesem Projekt behandelten Werk nimmt er ausdrücklich auf die ausgezeichnete Stellung von al-Mamun Bezug.
Vergleicht man den wissenschaftlichen Standard, den die islamische Welt zu diesem Zeitpunkt erreicht hatte, mit dem des christlichen Mitteleuropa, so zeigt sich deutlich die Überlegenheit und der Vorsprung des Orients. In einer Zeit, in der "The Clash of Cultures" (Huntington) zu einem geflügelten Wort gerät, dürfte es sinnvoll sein, in einer 9. Jahrgangsstufe derartige welt- und wissenschaftsgeschichtliche Verschiebungen zumindest aufzuzeigen. Das folgende Datengerüst mag die historische Einordnung erleichtern:

570 - 632 Mohammed der Prophet
732 Schlacht zwische Tours und Poitiers; stoppt das weitere Vordringen
der Araber im Westen
754 - 775 Kalif al-Mansur; begündet den Aufstieg der islamischen
Kultur, besonders durch die ...
762 ... Gründung Bagdads
780 - 850 Al-Khwarizmi
786 - 809 Kalif Harun al-Raschid; bekannt aus 1001 Nacht; führt das islamische Reich auf den Höhepunkt seiner Macht
813 - 833 Kalif al-Mamun, Sohn des Harun al-Raschid; fördert den Aufstieg der Wissenschaften, gründet ...
um 830 ... das "Haus der Weisheit"
9./10.Jhd. politische Entmachtung der Kalifen
1258 Eroberung Bagdads durch die Mongolen; damit Verlust des äußeren Symbols der Einheit des Islams


Autor

Bildnisse sind eigentlich nicht vorhanden. Die beiden folgenden Abbildungen können dennoch ein wenig erhellend sein. Die rechte ist sicher nicht an die Person Al-Khwarizmis gebunden. Die linke wird zwar als Abbild benannt, scheint aber ebenfalls eher eine Notlösung zu sein.

     


Abu Abd Allah Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780 - 850) - kurz: AK - stammt aus Choresm (arab. Khwarizmi). südlich des Aralsees, heute Teil von Usbekistan und Turkmenistan. Für seinen Namen sind mehrere Schreibweisen gebräuchlich, z.B. Alhwarizmi, Al-Hwarizmi, al-Khowarizmi oder auch Mohammed ben Musa. Er verfasste Bücher, die den Bereichen Algebra, Astronomie und Geographie zugeordnet werden können, sowie Werke über indische Ziffern und den Jüdischen Kalender.
Das Wort "al-dschabre" erscheint bei AK erstmals urkundlich in mathematischem Zusammenhang. Über zahlreiche Zwischenstufen entwickelte sich daraus das Wort "Algebra". AK hat die Bedeutung des Wortes nicht näher erläutert. Im Zusammenhang mit dem Titel des Buches (s.u.) darf man es im Sinne von Auffüllen/ Vervollständigen deuten. Damit entspricht es in etwa dem modernen Quadratischen Ergänzen. AK den "Vater der Algebra" zu nennen, verzerrt seine Leistung jedoch, da sein Buch inhaltlich an ältere Traditionen, etwa Diophant und Euklid, anknüpft. Insbesondere fehlt ihm völlig die modernere Buchstaben-Schreibweise.
Andererseits ist das Kalkülhaft-Algorithmische seiner Schrift deutlich erkennbar. Insofern ist es nicht nur eine wortgeschichtliche Zufälligkeit, wenn aus der Verballhornung seines Geburtsortes das Wort "Algorithmus" wurde. Hintergrund könnte sein, dass eines der Werke AK's mit den Worten "Al-Khwarizmi dicit" ("Also spricht Al-Khwarizmi") begann. Das Diagonalisierungsverfahren von Gauß hätte auf ähnliche Weise den Namen "Braunschweiger" bekommen können - ein netter Vergleich von Herrn Colerus.

Quelle

Der Titel von AK's bekanntestem Buch lautet:
Al-Kitab al-muchtasar fi hisab al-dschabre w'al-mukabalah

(Kurzgefasstes Buch über das Rechnen durch Vervollständigen und Ausgleichen)


Die für diese Reihe angefertigte deutsche Übersetzung benutzt als Ausgangspunkt
The Algebra of Mohammed ben Musa. Edited and translated by Frederic Rosen, London 1831.

An der folgenden Inhaltsübersicht wird die Mischung aus systematischem Interesse und Anwendungsorientierung deutlich. Die Anwendungsorientierung wird in dem Textauszug, der dieser Reihe zugrunde liegt, jedoch keine Rolle spielen.
Vorwort
Quadratische Gleichungen
Über Multiplikation
Über Addition und Subtraktion
Über Division
Über die sechs Probleme (Zusammenfassung des Vorangegangenen)
Verschiedene Fragen
Über Kaufmännische RechnungenÜber das MessenÜber VermächtnisseÜber Erstattungen (führt zum großen Teil auf lineare Gleichungen und Dreisatzsituationen)






Unterrichtsmatrialien:

Die folgenden WORD-Dokumente können heruntergeladen werden.


Sachanalyse:
AK's Technik des Lösens quadratischer Gleichungen
Der vorliegende Textauszug liefert ein Verfahren, gemischtquadratische Gleichungen zu lösen. Dieses Verfahren ähnelt sehr stark dem aus der Sekundarstufe I bekannten Verfahren der Quadratischen Ergänzung bzw. der sog. pq - Formel. Im großen Unterschied zur heutigen Betrachtungsweise kennt AK jedoch keine algebraische Schreibweise in unserem Sinn: Er beschreibt ausführlich die Zahlenmanipulationen. Die Begründungen dafür, dass seine Verfahren korrekte Ergebnisse liefern, sind ausschließlich geometrischer Art. In der Folge ist AK's Analyse irrationaler Lösungen unübersichtlicher als die "moderne" Betrachtung der Diskriminante.

Den systematischen Hauptteil des Buches - neben der Aufgabensammlung, s.o. §1 - bildet die Diskussion linearer und quadratischer Gleichungen in einer Unbekann-ten. AK ordnet die Gleichungen so an, dass keine Minuszeichen entstehen und kommt zu den folgenden sechs Fällen:
ax2 = bx ax2 = b ax = b
ax2 + bx = c ax2 +c = bx ax2 = bx + c
Das erste im Unterricht vorgestellt Beispiel lautet in moderner Schreibweise x2 + 10x = 39. Das für die Klassenarbeit vorgesehene Beispiel hat die Form x2 + 21 = 10x. Die anderen Fälle werden in dieser Reihe nicht behandelt.
AK gibt verbale Regeln für das Auffinden der Lösungen an und illustriert sie durch Zahlenbeispiele. Die Richtigkeit seiner Ergebnisse zeigt er durch geometrische Kon-struktion. Hier zeigt sich u.U. der Einfluss Euklids und dessen in griechischer Traditi-on stehender Auffassung von Mathematik als einer beweisenden Wissenschaft. Die moderne Buchstabensymbolik kannte AK noch nicht. Zwar vereinigte er griechische, babylonische und indische Überlieferungen und ist allgemeiner als seine Vorgänger. Zur vollen Allgemeinheit fehlen ihm aber noch immer die Zulassung negativer Koeffi-zienten und Lösungen, die Benutzung der Zahl Null und die allgemeine Zweideutig-keit der Quadratwurzel.
Für das im Unterricht zentrale Beispiel x^2 + 10x = 39 liefert AK die folgende Lösung. Sie wird hier - genau wie im Unterricht, s.u. §6 - in ein Flussdiagramm übersetzt:

Als gesuchtes x ergibt sich die Zahl 3. Man erkennt deutlich, an welcher Stelle "negative Wurzeln" nicht thematisiert werden. Für den geometrischen "Beweis" liefert AK zwei Versionen. Sie benutzen die folgenden Ausgangssituationen:

Das x2 entspricht im linken Bild dem Quadrat AB (Schreibweise der englischen Ausgabe). Die zu addierenden 10x werden in 4 Teile zerlegt und an jeder der 4 Quadratseiten angelegt. Offensichtlich entspricht dieses Vorgehen nicht dem Flussdiagramm: Dort werden die 10x nur in zwei Teile zerlegt. Daher liefert AK einen zweiten Beweis, der dieses berücksichtigt. Im rechten Bild werden an das Ausgangsquadrat AB die zwei Stücke G und D mit den Abmessungen 5 × x angelegt. Ohne das kleine Eckquadrat (5 × 5 = 25) hat man damit 39 Einheiten, mit dem Eckquadrat sind es 64. Als Kantenlänge ergibt sich 8, abzüglich der 5 (Kantenlänge G bzw. D) erhält man die schon bekannte 3. Der für die Klassenarbeit vorgesehen Fall verläuft nach einem ähnlichen Muster. Dort gibt es noch eine Variante, die auf eine zweite Lösung führt. Allerdings fehlt die moderne übersichtlich-allgemeine Darstellung mittels der Diskriminanten.



Zurück zur
Startseite Mathematik
Zurück zur Übersichtsseite
Geschichte