Quadratische Funktionen
Mathematik am Helmholtz


Hinweis zu allen Aufgaben: Kontrollieren Sie, wann immer es sich anbietet, Ihre Rechnungen anhand von Zeichnungen oder Skizzen!

 

 

Aufgabe 1:

 

a)         Zeichnen Sie die Graphen zu den folgenden Funktionen in ein (1) Koordinatensystem. Nutzen Sie Ihre Vorkenntnisse über Parabelgleichungen aus: Scheitelpunktermittlungen, Symmetrieeigenschaften, Kongruenztypen etc.

 

            Erste Gruppe:                                        Zweite Gruppe:

 

            f1(x)  =  -(x + 2) × x                               f4(x)  =  -(x -1)2 + 9

            f2(x)  =  4 - x2                                       f5(x)  =  -x2 - 2x

            f3(x)  =  -x2 + 2x + 8                             f6(x)  =  (x + 2) × (2 - x)

 

b)         Bei einigen der Funktionen liegt nach dem Zeichnen die Vermutung nahe, daß sie identisch sind. Weisen Sie dieses nach, indem Sie die entsprechenden Funktionsterme algebraisch ineinander umformen.

 

c)         Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen.

 

d)         Berechnen Sie die Scheitelpunkte der Parabeln.

 

e)         Welche Gemeinsamkeiten teilen alle obigen Graphen? Geben Sie die Zuordnungsvorschriften von zwei weiteren Graphen an, die ebenfalls zu diesem Typ gehören.

 

 

Aufgabe 2:

 

Durch die folgenden Angaben werden Parabeln festgelegt.

 

a)         Skizzieren Sie die Lage der Parabeln im KOS.

 

b)                  Stellen Sie jeweils eine Funktionsgleichung auf. Geben Sie auch die Normalformen an.

(Hinweis: Wählen Sie für die Ansätze jeweils Gleichungsformen, die es Ihnen gestatten, die Voraussetzungen möglichst geschickt einzubringen!)

 

            Parabel 1 ist deckungsgleich mit dem Graphen zu y = 0,25x2 - 3x und nimmt an der Stelle x = 3 ihren höchsten Funktionswert, f(3) = 6, an.

 

            Parabel 2 verläuft durch den Ursprung, schneidet die x - Achse erneut an der Stelle x = 6 und hat als kleinsten Funktionswert die Zahl -4,5.

 

            Parabel 3 berührt die x - Achse an der Stelle x = -3 und schneidet die y - Achse im Punkte Sy(0/ -1).

 

            Parabel 4 enthält die Punkte A(2/ 8), B(-4/ -1) und C(0/ -1).

            (Hinweis: Hier sollten Sie Rechenaufwand und entsprechende Fehler vermeiden, indem Sie ´sofort´ mit einem LGS mit zwei statt drei Gleichungen beginnen!)

 

            Parabel 5 schneidet die x - Achse an der Stelle x = -5 und durchläuft die Punkte R(-3/ 6) und B(2/ 3,5).

            (Hinweis: Rechnen Sie das ´große´ LGS aufmerksamst durch. Oder: Suchen Sie einen Ansatz mit ´kleinem´ LGS!)

 

 

 


Aufgabe 3:

 

Gegeben seien die Funktion g durch  g(x) = - x2 - 2x +3  sowie die folgenden Funktionen durch

 

            n1(x)  =  (x + 6)(x - 2)                       b5(x)  =  (x - 3)2 - 4

            n2(x)  =  4                                             b6(x)  =  -4x + 4

            g3(x)  =  -0,25 x2 - 1,25x + 6                u7(x)  =  2(x + 5)(x + 3)

g4 (x)  =  -(x - 4)2 + 4                           u8(x)  =  x + 11

 

 

a)                  Zeichnen Sie die Graphen sauber in zwei Koordinatensysteme: n1/2 und g3/4 ins eine (Farben oraNge und Grün), die restlichen ins andere (Farben Blau und BraUn).

(Hinweis: Nutzen Sie Ihr Wissen über Nullstellen, Scheitelpunkte, Symmetrie etc.möglichst effizient aus!)

 

b)         Untersuchen Sie anhand Ihrer Zeichnungen aus a), ob die acht zusätzlichen Graphen mit dem Graphen Gg der Funktion g gemeinsame Punkte haben. Lesen Sie im gegebenen Fall diese Punkte möglichst genau ab.

 

c)                   Überprüfen Sie Ihre Vermutungen aus b) algebraisch. Beachten Sie insbesondere die nicht ganz eindeutigen Situationen (z.B. bei G5 oder G8). Welche algebraischen Eigentümlichkeiten beim Berechnen der Lösungen bringen in diesen Fällen Klärung?

(Hinweis: Vergleichen (!!!) Sie die Situationen im KOS und bei der Rechnung.)

 

 

Aufgabe 4:

 

Gegeben seien die  folgenden Parabeln, die beide zum Kongruenztyp ´-1´ gehören und an der Stelle x = -2 die x - Achse schneiden:

 

            Parabel 1 habe ihre zweite Nullstelle bei x = 1;

            Parabel 2 habe ihr Maximum an der Stelle x = 0,5.

 

a)         Skizzieren Sie den Verlauf dieser beiden Parabeln in dem KOS aus 1a). Fügen sich die Graphen in das vorhandene Bild ein? Vergleichen Sie mit 1e).

 

b)         Berechnen Sie die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln.

 

c)         Untersuchen Sie, ob die Scheitelpunkte der verschiedenen Graphen aus 1a) und 4a) auf einer Kurve eines Typs liegen könnten, der Ihnen bekannt ist. Stellen Sie ggf. eine passende Funktionsgleichung für diesen Graphen auf und überprüfen Sie Ihre Vermutung.

 

d)         Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g mit g(x) = x2 + 4x + 4 in das KOS aus 1a) bzw. 4a). Welche Bedeutung hat diese Parabel?

 


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